目录 一、问题的由来二、数学方法的法理释义三、数学方法契合法律论证四、数学方法论证的具体展开五、数学论证的法理反思 一、问题的由来如果说法治是人类文明的显著美德，那么司法审判就是维护这种美德的根本制度。传统的司法理论认为，立法者的主要任务是制定法律，司法裁判的任务则是根据已经制定的法律来实施法律。所以，法官的主要职责就是将特定事实与法律规范结成具有因果关系的逻辑链，从而完成神圣的裁决任务。但是，随着法治理论的进步和实践的发展，人们对法官作用的看法发生了巨大变化。在新的司法理论看来，法官的任务不再局限于机械地适用法律，而是在解释法律等方面有了更多的自由裁量权。概而言之，法官不仅要论证裁判规范，也需要论证法律事实，更需要论证裁决结果和法律规则之间的因果联系，这就要求司法判决结果必须建立在法律论证的基础之上。因此，通过法律论证寻求司法的可接受性已经成为现代司法的重要准则。既然涉及法律论证，必然要求有具体的论证方法。是故，如何寻求有效的法律论证方法已经成为法理学领域的重要研究内容。其中，数学方法以其广泛的适用性，受到了人们的青睐，从而引进了法律论证领域，成为学术研究的前沿。毫不夸张地说，“数学无处不在”。从更本质的方面说，数学主要的是一种方法，表现出它的一般方法论的性质和特征。这是因为，数学的各个分支学科和领域对人类的其他学科能够提供足够的智慧支持。所以，“当我们考察受数学影响的领域，以及数学为我们在这些领域中提供的部分或全部的方法时，我们会情不自禁地称数学为一种通向物质、思维和情感世界的方法。从人类理解大自然的努力中，从人类为物质世界出现的混乱事件注人秩序的努力中，从人类创造美的努力中，从人类为满足健全的大脑锻炼自身的灵性的努力中，从人类所有这些努力中积淀的精密的思想，正是人类智慧最纯净的升华。”霍姆斯也曾对数学在法律研究中的重要性有过说明：“就理性的法律研究而言，或许白纸黑字的解释法律是当代人的（主要任务），但未来却是统计学人与经济学人的天下。”作为法律文化中的重要影响因子，国内有学者对法律与数学的文化关系进行过系统研究，主要结论是“数学理性是西方理性精神的核心；数学对西方法律文化有着巨大的影响，西方法律文化体现了大量的数学理念，这些数学理念直接影响了法律的内容，使西方法律文化别具特色”，“数学的特性和认识功能决定了数学不可避免地会对法律文化产生影响”；也有少数学者从法律解释中看到了以数学进行思维的可能性及其必要性，从而认为“数学证明中的病例排除法、例外排除法、辅助定理整合法对评判裁判者的解释是有启发的。但由于数学命题与规范命题的差异，以及法律解释自身的特殊性，数学思维在解释中的‘运用’，终究只是一个表象、一种修辞。”国内学者中，研究数学如何在法律科学中应用的成果也并不罕见。在国外学者研究视野中，数学与法律关系的研究已经逐步深入到实践应用层面，比如人工智能与法领域的兴起就是数理逻辑运用的结果。法律中的贝叶斯证据推理模式研究者也大有人在；运用数学方法进行案件侦查，也已经成为学界大量讨论的问题，甚至如何在司法过程当中运用数学方法，也有学者撰文立说。这些关于法律与数学关系的研究拓展了我们的法律知识，也从文化论层面促使我们积极面对数学理性，是法律知识研究领域拓展的重要体现。当然，对于法律与数学关系的研究来说，虽然宏大叙事的研究方法是一种较好视角，但是对于具体的司法实践来说，它因过于看重“什么对什么的影响”之类的宏观主题的讨论，而忽略了其中较为具体的细节。因此，一旦碰上与司法相关的法律论证问题，宏大叙事的缺点就很容易暴露出来。比如，司法论证中是否可以建模，如何用建模方式论证裁判结果的合理性等，这是法律与数学的文化关系研究难以解决的。因此，需要我国的学者们在理论上对司法裁判中运用数学方法进行法律论证的可能性及其后果进行具体考量。而真正促使笔者重视思考数学方法与法律论证的是“周文斌受贿案”。周文斌是南昌大学原校长，工学博士，因被检察机关指控受贿而受审。在庭审过程当中，周文斌充分发挥了其理工科背景的学科优势，使用概率论与数理统计、排列组合、误差理论等，自创案件证据评价表，用来测算证据真实性，并通过数学方法论证出当时出庭的一位证人的证词真伪。该案的细节并未有全面的报道，笔者也未获得周文斌的辩护意见资料，即使是一审裁判的裁判文书在中国裁判文书网中也未有发现，而二审裁判文书却也只是简单地更改了一审的错误判决。因此，本文不打算对周文斌案做具体讨论，但是可以预测，在中国未来的司法审判当中，将会有更多的将概率论与数理统计、排列组合、误差理论等理论作为证据来分析证据的合理性。法院是不是应该对此一味地保持沉默，还是积极地有效应对？当然，本文今天主要讨论的问题是从周文斌案抽象出来的基础问题：什么是数学方法？法律论证当中如何运用数学方法？甚至，我们可以进一步追问，如何从法理学上评价数学方法的法律论证价值？ 二、数学方法的法理释义不论是从人类的精神活动来看，还是从人类改造世界的实践活动来看，数学都发挥了十分重要的作用。特别是随着数学学科的大规模发展，研究对象发生了巨大变化，“从单变量到多变量、从低维到高维、从线性到非线性、从局部到整体、从连续到间断、从稳定到分岔、从精确到模糊等等”，使得数学的应用领域也逐步向深、远、广的角度发展。因此，研究如何让数学方法在具体实践中发生作用，是各学科的研究者们应该做的重要工作之一。有意思的是，虽然人类以天才般的智慧在法学领域和数学领域分别做出了巨大贡献，但鲜有将法律与数学结合起来的开创时代的研究成果。直到法律经济学研究方法的传播和发展，司法审判当中运用数学方法才逐步被人们所重视。从司法过程来看，数学的基本公理（定理）、公式等被用到司法当中，用以证明诉讼参与人的某个法律命题，或者法官用之进行论证说理，是数学方法影响司法程序的主要形式。数学既然是作为方法存在于司法程序当中，显然不仅仅只是法庭计算赔偿金或者一次性工伤损害赔偿等关乎计算的问题，而且还与法律论证息息相关。因此，所谓数学方法，是指在法律论证过程中运用数学知识进行推理、演算和分析，论证案件中的法律命题，形成特定的解释和判断，得出相应的结论，以实现司法说服的目的。从历史来看，在法律论证中运用数学方法，并非一开始就容易从法理上获得认可。早些时期，它们不仅在实质运用中容易被误解，在程序决策上也难以被接受。在法律论证中最早运用数学方法的一个案例是19世纪末发生在法国的“德雷福斯案”（下文对该案有具体介绍），但是这是一个数学方法运用得比较失败的冤案；比较成功的案例是1908年美国的“穆勒诉俄勒冈”（Mullar v. Oregon）案。该案中，原告诉讼代理人布兰代斯最早在辩论摘要书中运用了统计学知识以证明超时工作对女工所造成的人身和精神伤害。布兰代斯对数学方法的运用开创了诉讼方法的新时代。从程序决策来看，法官对数学方法的运用一开始并不看好，甚至还存在一定程度的抵触。比如，如果诉讼当事人请求1000位证人就同一问题作证，那么法官是否可以通过科学的抽样方法来抽取特定样本听证？对于这个问题，一开始美国法院拒绝使用数学中的抽样方法，后来法院认识到这种方法的可行性和科学性，逐步有条件地允许在司法过程当中使用抽样方法。从主体来看，诉讼参与人或者法官可以通过运用数学方法论证特定的法律命题。当然，对于诉讼参与人而言，数学方法的启动并非实质性的司法要求。也就是说，在司法过程中采用何种数学知识论证何种法律命题，诉讼参与人都可以自行决定（能不能被法官所认可或者接受则是另一回事）。比如，在嘎佐（Garza）诉洛杉矶郡（County of Los Angeles）选票案当中，为争取西班牙裔在洛杉矶选举检察官当中获得胜利奠定选区基础，原告提出了一个“投票当中存在集团投票性质”的法律命题。为此，原告提出了两个回归方程组成的生态回归模型，第一个回归模型是：Yh=ah+βhXh+εh（Yh表示西班牙裔候选人的预期投票率，以选区中的记名选民的百分比表示；ah表示投票给西班牙裔候选人的非西班牙人记名选民的百分比；βh表示1%的西班牙裔记名选民对西班牙裔候选人的总投票数；Xh表示西班牙裔记名选民的百分比；εh表示均值为0的随机误差项）。这个模型是用来计算西班牙裔记名选民和非西班牙裔记名选民对西班牙裔候选人投票的百分比，但仅此还不够，还需要一个回归方程来计算西班牙裔和非西班牙裔选民的投票比率，即：Yt=at+βtXh+εt（Yt表示总的投票率；at表示非西班牙裔人投给任意人的百分比；βt表示1%的西班牙裔记名选民对西班牙裔候选人的总投票数；Xh表示西班牙裔记名选民的百分比；εh表示随机误差项）。根据1982年洛杉矶市市长的选举结果，原告方收集了上述两个回归方程需要的数据，通过最小二乘法（又称最小平方法，是一种数学优化技术），得出回归线分布图，从而为支持原告的法律命题提出了充分举证。从本案来看，原告能否提交回归方程证明选举中存在集团投票性质，法律并没有规定。但是，本案中原告方的方法显然具有一定程度的创新性，即其认为通过数学上的回归分析，调查某一地域选民的回归线分布图，从而形成法律意义上的证据。当然，原告方也可以不使用这样的方法，而是用其他证据来证明选举投票的集团化倾向。这些是诉讼两造通过理性决策可以权衡的问题。不仅如此，在面对一些复杂问题的时候，法官也可能会从理性出发，合理地运用数学方法来解决实践问题。比如，在“张廷权故意杀人案”当中，法院支持的证据有：“生物物证鉴定意见证实：在送检的张廷权家院中央地面可疑血迹、张常青家院门前地面可疑血迹中检出人血反应，经str分型检验及遗传统计学分析，支持上述血迹为张某丙所留，不支持为其他随机个体所留。”法官在这里以str分型检验及遗传统计学分析结果论证现场的血迹为张某所留，也是对数学方法的肯定。只是要说明的是，虽然数学方法在司法中运用已经包含了手段和工具的含义，但更多地是要强调其作为思维方式的价值。这意味着，能不能运用数学方法，或者在什么条件运用数学方法，则属于能力和知识多寡的问题。还值得注意的是，数学方法只是一种方法载体。因而，在司法实践中，运用数学方法解释某种法律现象，有可能是当事人本人提出，也有可能是当事人的代理律师提出，更有可能是当事人聘请的专家证人提出，当然也允许法官提出，只要所提供的数学方法能够合理地解释司法命题，都可以认为是恰当地运用了数学方法。从内容来看，司法程序中运用数学方法进行法律论证，不仅能强调法律命题的合理性，甚至还能对制度建构起促进作用。美国人却伯曾认为，司法审判中的数学，意味着两个相关但可分离的主题：第一个主题是允许当事人在诉讼过程中合理使用明确的统计证据等来实现各种目的，鼓励审判者借助数学方法来化解诉讼中有争议的权利要求；第二个主题，则与此相反，主要是采用这些方法来建立诉讼中需执行的程序和举证规则。这不仅是数学工具在某一特定审判中的实际行为，也涉及将其运用于整个审判系统。却伯的概括并不完整。因为，在实际司法审判程序中，运用数学方法的根本目的就是通过数学方法来影响司法决策。所以，数学方法在司法审判当中的主题应当涉及到如下三个层面：第一个层面是诉讼当事人运用数学方法来论证某个法律命题。比如本文开篇提到的周文斌受贿案中，周文斌用概率论来证明指控受贿的证据不成立。第二个层面是法官运用数学方法分配权利义务，如下文中将提到的“汉德公式”，就是法官运用数学方法分配权利义务的结果。第三个层面则是通过数学方法来实现司法规则的建构，比如在侵权行为当中由何方当事人承担证明责任，这是一个需要建构的制度性问题，数学方法在其中可以起到非常重要的论证作用。从功用来看，在司法审判中运用数学方法，不仅是作为简单的工具，而且是作为主题决策的思维方向和方法进路。“在科学上，方法是指这样一种路径，它以理性的，因而也是可检验的和可控制的方式导向某一理论上的或实践上的认识，或导向对已有认识之界限的认识。”正是基于此种认识，数学方法以理性为基础，对司法争议问题给出特定的解释。在司法过程当中，诉讼两造总是会围绕特定争议点而展开争论，并为此积极提供法律论证。这是因为，诉讼活动是以问题为导向的，对于诉讼对方提出的法律命题，另一方总会从不同的角度予以回击。诉讼中最重要的事情就是提供足够充分的证据，否则举证方的法律命题有可能得不到支持，面临败诉的风险。特别是有义务提供举证责任的一方，要能够在审判过程当中占据优势地位，就必须能够运用各种方法来实现充分论证。所以，诉讼参与人面对的法律问题越是复杂、抽象，越有可能运用数学方法。比如，歧视问题在就业过程当中普遍存在，但是难以用常规证据来证明，于是，“许多就业歧视案都用到这样一种回归分析模型，该模型以工资（或工资的对数）作为因变量，对生产率因素和各种受保护群体（通常是40岁以上的女性）的指标变量进行回归。如果这些群体的系数在统计上是显著的，那么可以认定该歧视案件初步证据确凿。”当然，体现数学规律和数理逻辑的数学知识必须与司法中的法律命题紧密相关，而且必须符合法律本身的逻辑要求。任何试图通过运用数学方法偷梁换柱或者进行伪论证的做法都应当受到数学真理和法律理性的抵制。 三、数学方法契合法律论证宏观来看，司法审判制度之所以存在，乃是因为人类不希望以专制的方式给特定的人施加违法或者犯罪带来的惩罚。人类通过中立、开放的法庭制度，通过有秩序的争辩，彰显人类的文明。在司法过程当中强调法律论证，实质就是强调通过对话和辩论，充分尊重被告人的基本权利，实现对违法犯罪行为的惩罚。这样，越是具有理性和逻辑的论证，越容易在诉讼两造进行平等的对话和交流。对于诉讼参与人而言，采用何种方法进行法律论证，实现司法说服，实际上就是司法中立性和开放性的体现。既然数学方法本身就是人类文明发展和进步的动力，也能够为司法论证提供足够的智慧支持，自然也能够成为法律论证的重要方法和材料。对于法官而言，司法也不是单向度的指示和命令，而必须是将讲法和说理结合起来，是法律生命的活生生的体现。法官通过司法裁判，不仅代表国家表明了对某种行为的立场，而且也代表国家阐述了该种行为应当/不应当受到支持的理由。法官的这种说理行为，既是与诉讼两造当事人的对话和交流，也是向社会公众所做出的一种间接交代。所以，在司法过程当运用数学方法，不是知识的独裁，而是司法理性的体现，从而将人类的理性智慧和人文情怀兼容并蓄，形成一种特有的方法论现象。数学作为一种方法，是从细微处考察数学在法律论证当中所发挥的作用。所以，虽然有学者从文化的层面论证过法律的发展受到了数学的影响，但是这并不等于司法审判就一定会运用到数学方法进行法律论证。因此，有必要追问一下，为什么数学方法能够成为法律论证的一种方法？或者说，数学方法的哪些特质促使人们运用这种方法来回应司法中的问题？数学本源于人类生活实践的特性决定了人类可以运用数学方法解释法律现象，因而数学方法可以作为法律论证重要方法。上世纪80年代，有美国学者提出现实世界具有可计算性的观点。那么，依照此种观点，根据现实世界运行规律制定出来的法律，也应当可以用数学来描写、解释。法律来源于人类生活的秩序需要，并构成人类社会存在的基本保障条件。脱离人类生活的法律即便充满理想和激情，也无法被人们遵守和适用，容易被束之高阁。而没有法律的人类生活，则更容易陷入霍布斯所说的“血腥丛林”生活，人类社会难以发展。因此，法律规则是人类生活秩序的规范提升。与此相应的是，数学的产生也与人类的生活经验密切相关。恩格斯曾说：“和其他一切科学一样，数学是从人的需要中产生的，是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿中产生的。”人类基于自身特有的理性，对已有的经验进行总结和提升，创造出了数学学科。而数学学科一旦创立，又反过来指导人类的社会实践，形成了数学知识不断增长与人类生活不断发展的良性循环。可见，数学是人类生活经验的理论提升。以诞生于人类行为经验总结的理论解释规范人类行为的现象，具有一定程度上的可行性和必然性。而且，从理论上看，法理上的很多表述过于抽象，如果用数学语言来表达，可能会更加直观。比如，亚里士多德曾经提出一个著名的论点，正义可以分为分配正义和矫正正义。矫正正义是指通过某种方式祛除对正义的影响因素，从而实现保护当事人利益的目的。亚里士多德的理论源于其对社会生活的长期观察和总结，但这种表述也可以用数学方法来描述。矫正正义的数学表达式为：“设有两当事人A和B，原先A和B的利益各自为f（a1）和f（b1），因A的违法行为侵犯B，使得双方的利益变化为f（a2）和f（b2），并且｜f（a2）－f（a1）|=|f（b2）－f（b1）|，其中f（a2）＞f（a1），f（b2）＜f（b1）；要恢复A、B间己被扰动的利益的平衡，则需要使A的利益重新变为f（a2）－|f（a2）－f（al）|=f（a1），而使B的利益重新变成f（b2）+|f（b2）－f（b1）|=f（b1）。”通过简单的数学知识，将法理学上的分配理论以非常简洁的数学语言表达出来，更有利于对抽象理论的理解。用数学解释法律现象具有科学性和客观性，因而数学方法能够成为法律论证的重要方法。从人类社会的进步历史来看，虽然未必是科学的，人们就容易接受；但总的来说，奠定在科学基础上的知识，生命力会更强，也更容易有说服力。比如上文提及抽样方法时，一开始抽样方法知识的科学性尚未普及，法院对此持谨慎态度。后来，抽样方法越来越为人民所接受，法院也逐步接受抽样方法。这是因为，“抽样方法使我们能够把根据一个可以控制的，来自总体的某个组所得到的结论推广到总体上来。如果抽样过程遵循了科学抽样的基本规则，法庭就可以接受这种推广，但是接受抽样方法是最近的事情，其间经历了一个漫长和坎坷的过程。”抽样方法实际上是一种比较古老的数学方法，并且与商业和贸易活动紧密相关，比如在货物发运之后，收货方签收货物之前，都会采用抽样方法验收货物是否达到了质量标准，这样就可以避免发货方可能制造的顶层好货或者底层好货陷阱。这种古老的交易法则为现代数理统计科学的发展奠定了基础。近来的数学研究表明，在样本确定的情况下，科学的抽样方法是避免低水平频繁重复或者无限重复的有效措施。另外，虽然数学计算过程是主管因素运用的结果，但是该过程排斥了人的主观意志，因而数学方法本身的客观性使得数学方法能够被人们所接纳。在特定情形下，运用数学知识和数学方法进行法律论证，更容易获取法律答案，从而为解决法律纠纷提供了足够充分的知识基础。例如，一厂商在广告中称，其生产的一种特殊药品能在8小时内解除一种过敏的有效率为90%，在有这种过敏的200人中使用药品后，有160人在8小时内解除了过敏。一消费者使用该药品后无明显效果，以虚假广告起诉该厂商。试问，法官该如何对案件进行判决？如果缺乏数学方法的参与，本案的裁判就会成为一个重大疑难案件。从数学方法运用的角度看，该案实际上涉及到查标准正态分布问题。因此，该问题可以转化成在假定a=0.01的条件下，计算该广告真实性的基础是其有效性。在本案中，设该种药品的有效率为P，记P0=0.9，问题可归结为假设H0：P≥0.9的检验，以Un表示n个服用该药品的患者中有效的人数。由于n=200，数较大，P0=0.9，可用正态分布逼近Un的分布，使用近似的U检验。对于a=0.01查标准正态分布双侧分位数（Ua）表，得U2a=U0.02=2.33，将Un=160，n=200，P0=0.9代入下式中，得：
由于U=－4.71＜2.33，所以应否定假设H，证明该生产厂家的广告不真实。因此，法官可以此数学公式计算出的法律结果认定厂商发布了虚假广告。此外，在统计学上，U检验、T检验和ANO-VA方差分析等方法也可以成为司法当中进行法律论证的具体数学知识。最后，数学方法蕴含了对逻辑理性的追求，是人类理性思维的重要表现，因而能够成为法律论证的重要方法。司法的主要任务需要法官在司法裁判中能够充分做到证据确定、事实客观，通过数学的逻辑推理可以有效地实现法律事实的证成更加科学。因此，将数学方法运用到司法审判当中就有了共同的思维基础。此外，司法判决所使用的语言主要是逻辑语言，因为这种逻辑方法与形式迎合了人们对确定性的渴求。如果说在过去，法官们对案件作出裁决结果一半靠神的旨意，一半靠权威个人的“意志裁判”的话，那么到了现代社会，法官们作出司法裁决，必定以司法逻辑和三段论式的司法推理形式为基础。基于三段论的司法逻辑模式，不仅是现代社会的要求，也是现代法律逻辑理性在司法领域的扩展，符合法治的根本意图。因此，如何通过逻辑性的方法去论证裁判结果，是法律论证的主要内容。在法律论证当中，最重要的一种推理方法是演绎推理，这是一种从一般到特殊的推理方法。演绎推理的特殊性在于：只要演绎推理的前提可靠，那么演绎的结论必定可靠。通过演绎推理得出的法律结论，具有强逻辑意义上的可接受性。与此相应，推理的演绎性是数学思维特殊性的表现。人们做梦都想要一种能够像数学计算一样精确、确定和客观的审判，来保护公民的基本权利。特别是随着数学大面积地运用到各个学科，人们对数学实用性的认识再次清晰，将数学方法尝试性地运用到司法审判中的案例势必增多。 四、数学方法论证的具体展开司法审判过程是一个用证据还原案件事实，形成法律事实，最后得出法律结论的过程。在这个过程当中，提交何种证据，如何论证证据与法律结果之间的关系，如何论证法律事实的成立，如何论证法律结论，都是十分重要的法律问题。因此，诉讼当事人为了实现其诉讼目的，在可能条件下，数学方法成为论证方法（之一）；而法官为了实现司法说服，也可能运用到数学方法。（一）法律事实证成中的数学方法以数学方法论证法律事实，是司法论证的常见形态。证据是司法案件的中心，一切诉讼活动必须奠基于证据而展开。在司法过程当中，用什么做证据，有多少证据，关系到诉讼主张的成败。因此，在诉讼中，诉讼参与人会千方百计提供有利于诉讼主张表达的证据，数学方法由此进入了人们的论证方法视野。早在一百年前，我国著名思想家杨鸿烈在《袁枚评传》中就说：“数学与法学，可说是有清一代科学方法的总源头……数学之为科学方法，可毋庸多说；而法律的本身最是讲究条理的明析，而在审判案件应用它的时候，又最注重搜集及调查证据。”在人类历史上，早就有了用基础数学规范诉讼证据的法律。但是，这只是数字在证据问题上的简单运用，还没有涉及到复杂的数学运算及更为复杂的数理逻辑作为诉讼证据问题。人类社会发展的进程表明，科学知识发展到一定阶段，必然会对司法有一定的影响。这也意味着，司法越发达，科学越发达，人们运用数学方法作为证据参与司法过程的可能性越大。司法实践当中，用概率论进行论证是最早运用到的数学方法。1899年，在著名的“德雷福斯案”中，控方对雷德·德雷福斯进行审判，专家证人运用的概率论知识成为核心证据。为了证明某一据说落入德军手中的文件的作者是德雷福斯上尉，这次起诉请了几位专家证人通过跟踪德雷福斯写给他兄弟的家书中的单词intérêt来推理出他是该文件的作者。本案中，控方将所谓专家证人审查某个单词的重复率作为认定出卖国家机密的犯罪嫌疑人的证据，开创了数学概率论证的先河。自此之后，概率论多次被运用到了司法当中。1968年，在美国发生了一起抢劫案（下文将该案称之为“夫妻抢劫案”）。“夫妻抢劫案”的受害者是一位年迈的女士，指控作案人扎着金色的马尾从作案现场逃跑。受害人的一位邻居指控他目击一个穿着暗色衣服扎着金色马尾的白人女子，从作案现场逃跑后上了一辆留着胡须的内格罗男性的黄色摩托车。几天后，警察官逮捕的一对夫妇似乎契合这些特征。在对该夫妻长达一周的审判中，受害人仍无法鉴定两被告的身份，邻居也无法有效识别男性被告。此外，有证据表明女被告在抢劫当天穿的是浅色的衣服，而两位目击者指认该作案女性穿的是暗色的衣服。而且，两位被告均否认参与过任何犯罪，提供的不在场证明至少也与另一被告证人的证词是一致的。为了进一步鉴定被告是否为该案件作案者的身份，公诉人请一位大学数学老师建立概率模型来证明，如果抢劫犯的确是扎着金色马尾的白人女子和骑着黄色摩托车留着胡须的内格罗男性，且被指控的夫妇符合这些详细特征，即可鉴定他们是罪犯。根据相互独立事件同时出现的概率等于每个事件单独出现的概率的乘积，证人首先验证了概率论中的“乘积法则”。利用乘积法则进行计算后，公诉人发现随机选择的任何夫妇中具有上述特征的概率是1/1200万，由此陪审团推断出仅有1/1200万的概率证明被告是清白的。因此，地方法院认定该对夫妇有罪。不过，与此相反的是，在瑞典发生过一起“停车超时案”，该案的法官排除了概率论的优势证据地位。在该案中，一位警官注意到，被告汽车的两个轮胎上的气门芯处于一点钟位置和十二点钟位置。在经过了允许停车的时间后，这个警官再次来到停车点，发现该辆车的气门芯还是在这个位置上。但被告辩称他曾驾车离开又返回此地。上诉法院认为一个气门芯有相同机会出现在十二个位置上的任何一个，所以回到一个给定位置的机会是1/12。该法院认为两个不同轮胎的转动就像两枚骰子那样的独立事件，所以该气门芯都回到最初位置的概率是1/12*1/12=1/144。虽然这个数字表明被告所描述的事件的发生概率很低，但是法院认为这个数字已经足够大了，不用定罪，尤其考虑到那位警官本来可以给四个轮胎上都做上标记，从而可以获得更有利的对被告不利的证据。在法律论证当中，最重要也是最难论证的命题是相关性论证。特别是在涉及到一些抽象法律价值的论证中，如何举证是摆在当事人面前的一大难题。比如，平等是人们非常向往的一种价值目标，并且人们也会经常评价某行为/政策存在歧视，破坏了平等理念。那么，在诉讼活动当中，如何论证歧视行为的存在？如何论证平等受到了破坏？1986年，美国劳动部下属的联邦合同执行办控告哈里斯银行对黑人和女性存在歧视行为，主要表现在原始工资和职务晋升两个方面。为了论证歧视行为的存在，原告方以多元回归模型作为重要的诉讼证据进行论证。原告方的专家用Urn模型对53个少数民族和256个白人雇员进行了分析，得出结论认为白人和少数民族之间存在平均残差，从而证明被告有歧视行为。不过，原告提出的多元回归模型也受到了被告的批评，被告以新的回归模型应对原告，得出的结论是与此截然相反。1988年，在美国的Sobel V. Yeshiva University案中，原告方认为被告的Albert Einstein医学院在工资和晋升方面存在性别歧视。原告方提出的一个重要证据是一个多元回归模型，其中因变量为工资，解释变量是教育、工作经验、学院的任期和年数、行医执照、论文发表速度和详细的分科类别等因素。通过该模型，原告方的专家证人认为，Albert Einstein医学院每年的性别系数为负数，1978年最大的负值为－3145（t=－2.18）。由于性别指标变量记男性的取值为0，女性取值为1，由此论证出女性员工比男性员工的年均收入在同等条件下少3145美元。针对此回归模型，被告认为，职称、取得职称的时间、行政职务、临床数量等都是回归模型的变量。而其中最重要的变量就是职称，因为职称在一定程序上反映了劳动生产率的产出结果。不过，法院对于原告方提出的多元回归模型并没有支持，认为其中缺乏了其他较多核心自变量。上述案件当中，原告的诉讼主张大都失败了。但是，作为诉讼证据的一种新进路，在司法过程当中强烈地震撼了诉讼当事人，也给其他诉讼带来新的路径参考。运用数学知识进行相关性论证也可能被用于对政府决策的不满之上。比如在美国，关于公立学校的资金来源与穷人家庭小孩的受教育问题，争论比较激烈。很多人都想方设法地把州政府告上法庭，指责州政府的政策不当。1971年，在Serrano V. Priest案中，法院指出，当地的公共教育过于依赖财政税收，这样导致的结果是穷人家小孩所能接受到的教育的质量取决于其父母财富以及邻居财富的多寡。美国的都斌（James E. Durbin）教授曾通过研究指出，在一些财政收入较差的州所在的公立学校，花在学生身上的钱只有平均577.49美元，而财政税收较好的州的公立学校花在学生身上的钱平均是1231.72美元。为此，一些美国人试图通过司法来改变这一局面。1973年，Antonio Independent School District诉Rodriguez案启动。原告在诉讼中指出，被告州政府的教育筹资系统的设计对穷人不利。原告在诉讼中使用了伯克（Berke）教授的一项科研成果作为诉讼证据。伯克教授使用的是对德克萨斯州10%的地区的学校的抽样调查，结果是，每个学生的人均教育经费与所在地区的财富状况是正相关关系。对此，美国最高法院针对伯克教授的科研成果认为：（1）事实上每个地区中每个学生的教育支出与家庭收入的中位数之间不存在整体上的正相关关系，这是因为，数据的中心部分存在逆关系；（2）伯克教授所说的正相关关系或许存在，但是这一结论是基于少数极端地区得出的，所以这一结论不足以推广至整体。最终，美国最高法院否定了原告的证据和意见。（二）法律适用过程中的数学方法在法律适用过程当中，也可以运用数学方法进行法律论证。法律适用过程虽然强调规则的准确适用，但是如何实现准确适用需要法律论证来完成。比如，在司法审判当中，责任分配是一个非常困难的问题，难度体现在如何认定当事人在案件当中的具体责任。特别是在涉及赔偿问题或者涉及补偿问题时，什么样的金额才算合理，一直是困扰法官的一个重大法律难题。这个难题在1997年的婕斯（Geressy）诉数字电气公司（Digital Equipment Corp.）案中有了新的解答思路。婕斯从1960年代开始从事秘书工作，使用的是数字电气公司生产的键盘。后来，婕斯的双手最终残废，原因是被告生产的键盘产生了重复性压力伤害（RSI）。一审法院的陪审团裁定：被告方应当赔偿原告损失1855000美元，赔偿痛苦抚慰金3490000美元。地区法院的法官在审查痛苦抚慰金是否合理的时候按照以下步骤进行了论证：首先是根据“反映交感神经营养不良”的案由确定了一组标准的案件，选取了27个案件；其次，根据该27个案件，痛苦抚慰金的变动范围很大。在这些案件当中，法官发现，如果是与工作有关的手和腕受伤，大概可以赔偿到37000美元；但是如果是在工作当中因为车祸而导致脱肠的，需要支付2000000美元。法官对抚慰金变动所许可的范围，考虑的是单倍标准差和双倍标准差，最终选择了双倍标准差规则。在这些数据当中，平均赔偿金是913241美元。法院根据标准案件所确立的双倍标准差的区间，设立赔偿金的可容许变差，是假设在每个案件中，除了抽样变异外，伤痛和折磨都是相同的、可允许的且和婕斯案中的伤痛相似的。这看起来不大可能，举例来说，如果把它应用到那个已赔偿37000美元的案件中，20000000美元的赔偿金就过多了。事实上，“如果不同的伤害程度包含在这一系列案件中，那么就应该把婕斯案看成位于这个连续区中双倍标准差就不再合适，因为那将既反映特定程序上的方差又反映不同程度间的方差，后者与特定案件的赔偿金是否合理是不相干的。”在民事案件当中，经常有所谓的主要责任、次要责任等概念出现。涉及到赔偿问题的时候，到底什么样的比率算是体现主要责任，什么样的比率算是体现次要责任呢？这样的问题在司法案件中经常存在。为此，一些司法人员注意到了数学方法，试图将数学中的一些基本理论引入到法学当中，解决诸如责任分配之类的难题。比如，著名的“汉德公式”就是一个典型的运用数学方法追究侵权损害责任的案例。汉德法官在司法裁判书中运用了数学方法来分配侵权责任。他认为，由于船只冲出泊位导致损害，有三个变量函数：（1）船只冲出泊位的概率；（2）因此产生的损害的程度；（3）充分预防的成本。用数学的语言可以表述为：P表示概率、L表示损害、B表示预防的成本。在问责过程中，过失责任是否存在就取决于B是否小于P与L乘积，即B＜PL。如果被告预防损失的成本低于造成损失的成本，此时被告就有义务采取预防措施；如果没有采取预防措施导致了损失的发生，那么被告就被认为是有过失的，即如果B＜PL，那么被告就应承担相应的责任而支付B。后来，人们总结了“汉德公式”的经典表述：“如果损害发生的盖然性是P，可能发生的损害的严重程度为L，行为人避免损害的负担为B，那么当B＜PL而行为人未能采取避险措施时，行为人未尽到合理注意，行为人有过失。”在这里，汉德法官成功地用数学方法说明了何种情形下何谓“过失”，特别是用数学方法诠释了何谓“合理”注意或者“不合理”注意。其实，博弈论也是用数学分析法律责任的一种重要理论，法律经济学理论多有讨论，本文不再赘述。 五、数学论证的法理反思在法律论证过程当中，论证主要包括两个方面：一个是关于事实认定中的论证，一个是规范的论证。对于事实认定而言，概率统计等数学方法可能是必要的工具，但是对于规范论证而言，数学方法就未必如此。例如佩雷尔曼曾经区分rational和reasonable，前者的论证是convince，后者则是persuade。数学的论证是最科学的convince，但是和规范论证本身存在的交互性的说服是有差异的。所以，从普遍性上看，对司法实践中数学方法的运用还得进行方法论上的反思。第一，用数学方法进行论证可能偏离法律理性。在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。在人类历史上，数学理性对人类的发展有着巨大影响。美国著名数学哲学家莫里斯·克莱因针对古希腊文化对欧洲的影响说过一句话：“尽管博物馆遭到摧毁，学者们也被驱散，但是希腊文化却依然顽强地生存着，而且最终得以重见天日，帮助塑造西方文明。……一旦人们掌握了理性精神，西方文明就诞生了。西方文明的兴衰与理性精神的强弱紧密地互相联系着。”而且，数学理性具有强渗透性，“作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。”这里，莫里斯·克莱因所说的理性精神的实质就是数理逻辑理性。与此相应的是，法律虽然也被视为是理性的体现，但是法律理性与数学理性的纯逻辑表达存在质的差别。有学者说：“法律理性是法律之所以为法律的内在逻辑品质，同时并为法律的外在技术品质……作为法律的外在技术品质，法律理性表现为经由诸如程序公正、法律推理、法律论证以及各种具体部门法的一系列智性制度安排和种种法律技术，包括法律语言、法律技巧和法律形式，赋予人世规则与人间秩序以明晰、确切、稳定、可预测与可操作等技术秉性……此即法律的形式理性……规则性、现实性、时代性、保守性和价值性，构成法律的实质理性的基本内涵，成为法律理性的内在逻辑品质。”在司法当中，法律的形式理性表现在遵守正当程序，进行合理法律论证等方面；法律的实质理性表现在遵守法律，追求法律适用的合法有效等。虽然法律论证过程当中十分注重逻辑理性，但是如果在司法过程当中过度运用数学方法却有可能背离司法的基本宗旨，从而导致司法不公。理由在于，数理方法本身不等于可以排除或然性，因此不恰当地运用数学方法会带来司法的不确定性。比如在上文中所提及的“德雷福斯案”，就是数学方法认定证据并不充分的典型案例。通过论证某文件上书写的特定字母与某人撰写的字母“吻合”的高概率性来推断某一个人是否犯罪显然有些武断。概率论本质上反映的是一种数学猜想，这正如波利亚说，概率论的本质是一种碰运气游戏的理论。所以，即使是千万分之一的不确信率依然是一种不确信。在美国著名的“夫妻抢劫案”中，陪审团定罪后却被加州最高法院推翻了，法院列举出对数理证词和公诉人的相关论证不予受理的四个理由：第一，缺乏任何经验证据来支持公诉人假定的事件概率。第二，即使假定的事件概率是正确的，基于“乘积法则”的乘法运算预设了被测量因素相互独立的前提条件，然而该前提条件没有陈述任何证据，显然是错误的。如果两个及以上的事件同时发生，其独立出现的概率显然不能用他们同时出现的概率相乘得到。例如，如果每十人中有一人是黑人且留有大胡子，每四人中有一人留有小胡子，显然大部分留有大胡子的黑人有小胡子的论断是不正确的，所以是1/10而不是1/4的黑人同时留有大胡子和小胡子。第三，即使乘积法则能用来推断随机选择的夫妇中仅1/1200万具有上述六大特征，作案的夫妇仍很有可能并不具备所有特征——要么公诉方的证人失误或撒谎，或作案的夫妇作了一定伪装。第四，陪审团错误地将随机选取的夫妇都具有上述犯罪特征等同于任何指定夫妇具有这些特征。毕竟，如果犯罪嫌疑人的数量被限制，例如，假定为2400万夫妇，若随机从中选择的一对夫妇中具有上述六大特征的概率为1/1200万，那么能够从2400万夫妇中找到2对具有上述特征的夫妇，则有将近1/2而不是1/1200万的概率，从而任何指定的夫妇具有上述特征将是无辜的。在此情形下，法院断定，“数理审判”扭曲了陪审团和辩护律师的作用，构成了司法不公。在此判决中，虽然加州最高法院认为法律和数学之间并没有内在的矛盾，而且数学方法也能够在事实调查中发挥辅助作用。但是加州法院也坚持，任何高度专业化的知识或技术分析范畴（比如数学论证）具有引人注目和可理解性的特征，但是人们在理解上可能存在一定分歧。虽然司法判决并不能因此剥夺了所有专业知识的优势的发挥，但是也不能剥夺对方当事人对此的辩驳（比如对来自司法鉴定的无根据推论进行可纠正的交叉讯问）。从这个层面来说，即使在科学层面上通过推论形成的东西，并非在司法审判中就一定能够成立，这是司法的特性所决定了的，正如美国加州最高法院在柯林斯一案中所指出的那样：“没有数学公式可以证明能排除以下合理疑点：（1）有罪一方的当事人事实上拥有人们举证的特征，或者甚至（2）在相关区域仅存在一位具备这些特征的当事人。”任何司法案件，与人的基本权利密切相关，这是数学学术讨论和用数学论证是否犯罪必须注意的根本问题。因为，在数学讨论当中，用数学求解出来的概率是一个答案，不会特指到某个确定的人。但是，在司法案件当中，如果运用到了数学方法，虽然会得出一个特定的概率，但是这个概率如果被用来轻率地指向某个特定的人，这个人就会被施加以特定的法律责任，对其个人及其家庭都造成难以估量的影响。特别是刑事案件当中，轻易使用概率论作为证据来确定某个犯罪嫌疑人就是罪犯，很容易带来冤假错案。概率本身体现的是不确定性，一旦有更强有力的证据证明原来的司法裁断是错误的，对司法公信力来说，也是一个重大打击。第二，用数学方法进行论证有可能偏离司法规律。司法规律是司法审判活动在长期运作过程当中呈现出来的某种客观性，是司法权运作的本质体现，比如强调公正优先，强调程序正义，强调证据客观等等。在司法过程当中过度运用数学方法，有可能使得司法规律遭到不合理的破坏。司法的规律性要求，任何证据的使用必须具有关联性。在司法过程中，对于证据的审查，主要以证据与证明目的之间是否有助于澄清案件事实为出发点。如果证据所指向的证明目的与本案的待证事实缺乏内在的关联性，则该证据应当排除使用。所以，数学方法虽然具有客观性，但是在针对特定法律对象时，如果无法做到惟一性指向，很容易破坏关联性要求。美国学者迈克尔·芬克尔斯坦和威廉·费尔利举例说明了数学方法没有恰当运用的案例。案情是：在市区的一水沟中发现一具女尸，现有证据表明死者在案发当晚与其男朋友发生过激烈争吵，而且他在其他地方已经施打过她，在疑似被告用来刺杀死者的小刀上还发现了与其相似的掌纹。由于该掌纹痕迹能传递的信息是有限的，一位专家表示这种痕迹在1000个案例中出现的次数不超过1次。芬克尔斯坦和费尔利一直思考的问题是怎样更好地告知陪审团这个证据的发现对罪证精确度的重要意义。当然，“千分之一”不是一个非常有意义的统计数字。正如加州最高法院在科林斯案所表述的那样，这不是测量被告是清白的概率，尽管很多陪审团成员很难理解为什么不是。正如芬克尔斯坦和费尔利所意识的那样，即使只有十万的潜在嫌疑人，也能找到将近100位具有该掌纹痕迹的人；如果有一百万的潜在嫌疑人，则能找到1000位具有类似痕迹的人。因此掌纹很难以任何独特的方式精准地查明被告。当然，找到与被告如此罕见匹配的掌纹痕迹具有非常重要的举证价值，该事件必定需要告知陪审团。然而，由于痕迹稀有性的数值指标是通过随机发生的频率来测定，它给人带来的误导性大于启发性。同时陪审团也应被告知该频率，如果真有的话，只有合理地阐明其他个体很可能也具有类似的痕迹，他们才应该意识到频率数字在测定被告是清白的概率上不具有任何意义。芬克尔斯坦和费尔利强调这可能导致传达给陪审团太少关于掌纹痕迹充分的举证价值的信息。他们提出针对该问题的解决方案是将贝叶斯定理应用于审判中。假设X表示被告使用小刀刺杀其女朋友的命题，E表示发现在刺杀死者的小刀上有疑似被告的掌纹痕迹的命题；P（E|X）表示在杀人凶器上找到了疑似被告的掌纹痕迹，事实上就是被告利用小刀杀人的概率；P（E|not－X）表示在杀人凶器上找到了疑似被告的掌纹痕迹，但被告不是杀人凶手的概率；P（X）表示审判者在知道E之前对X概率的正确评估，P（X|E）表示审判者在知道E之后对X概率的正确评估；P（not－X）表示审判者在在知道E之前对X概率的错误评估，因而P（not－X）=1－P（X）。贝叶斯定理如下所示：P（X|E）=*P（X）。
为了应用该方程，芬克尔斯坦和费尔利为了简单起见，假设被告不可避免地将留下这样的痕迹，所以P（E|X）=1，他们也阐述到概率P（E|not－X）等于在嫌疑人群体中该痕迹出现的频率。换言之，他们假设在找到留有疑似被告痕迹的小刀的前提下，被告实际上没有使用小刀刺杀其女友的概率等于随机选择的人中具有与被告类似指纹的概率。芬克尔斯坦和费尔利在这里所运用到贝叶斯定理并不能说明某一个重要的法律问题。也就是说，虽然数学方法证明了被告留下痕迹的概率与随机选择的凶手的概率一致，这种判断属于猜想性判断，而且判断的对象不确定，无法获得被告就是杀人凶手的确切信息。所以却伯认为这个案件运用数学方法是失败的，而且带有严重偏见。第三，用数学方法进行论证难以进行价值考量。司法裁判作为处理社会纠纷的一种重要模式，其一个重要的特点是掺杂了大量的价值因素。正如哈特所说：“法官成为形式主义者、机械装置或自动售货机，对法官自身而言，这种角色的错误究竟意味着什么？……显然，错误的实质在于法官对于一般条款所做的解释无视社会价值及实践效果。”哈特作为规范分析法学的代表性人物，虽然主张法律与道德的分离，但是他也肯定“最低限度的自然法”，没有完全否定司法中的价值判断，而是认为司法裁判也应该注重价值考虑，从而实现社会正义。这给予我们的启示是，司法不可能是纯粹数学程序化的论证，而更多的是要有价值评判标准的参与，这是司法过程应当注重的问题。从宏观的角度来看，数学追求的是精确性，而法律程序的主题虽然也对客观性有所追求，但是有关法律价值的讨论在法律研究当中从来就是不绝如缕。所以，当精确性逻辑碰到了主观性追求，二者必定需要“谨慎结交”。这是因为在法律论证当中运用数学方法，如果不加入价值考量，则很容易沦陷为“奇技淫巧”的工具。1996年，在“凯利诉联邦能源立法委员会案”当中，如何计算损害就成了一个问题。康斯坦丁电厂是一个位于密歇根州康斯坦丁市圣约瑟夫河畔的拥有94年历史的水力发电厂，它的所有者是印第安纳密歇根电力公司。在联邦能源立法委员会（FERC）发放许可证之前，密歇根州自然资源部试图说服FERC采取一定强制措施，以减少被涡轮机卷走的鱼的数目。FERC拒绝了这一要求，但同意电力公司应该对由于鱼的死亡给密歇根州造成的损失进行补偿。每年死亡的鱼的数目由随机日抽取的样本来估计。电力公司主张使用几何平均数来推断鱼的年死亡率，因为按日抽取的样本具有波动性，在某些天取得的样本量通常偏高。通过计算样本数据的几何平均数，电力公司估计出鱼的年死亡量为每年7750条。但是，在诉讼中，密歇根州政府反对这种计算方法，认为数据太少以致不能确定偏度，并建议使用算数平均值来代替几何平均值。对基本相同的样本数据计算及其算术平均值，密歇根州政府估计得到鱼的年死亡率为每年14866条。这看似是一个数学计算方法之争的问题，实质则涉及到价值衡量问题。样本算数均值等于样本中所有观测值的和除以样本容量n。根据这个定义可以明显看出，如果给定样本均值，样本观测值的和可以通过均值乘以n得到。因此，可以通过将样本值乘以样本大小与总体大小的比值的倒数来得到总体值。由此，每天死掉的鱼的算数均值乘以一年的天数就是鱼的年死亡数。但是，第一步不能使用几何均值，因为几何均值是n个观测值乘积的n次方根；将其再乘以n不能算出样本观测值的总和。因此，每天死掉的鱼的几何均值乘以一年的天数不能算出鱼的年死亡数。其中，特别值得注意的是，如果样本中的某一天没有鱼死掉，几何均值将会是零，很明显会低估，所以用几何均值是不合适的。从这个案例来看，如果不对案件进行恰当的价值衡量，那么司法过程当中就因为充满所谓的数学理性而失去人性的光辉，特别是考虑到环境保护问题，该案更应该从样本算数均值来考虑裁判结果，以增加电力公司运营成本的方式促使其更加注重保护生态环境。“经验丰富的法律人不会为了符合逻辑而放弃法律的价值，在他们手中，新的更合时宜的原因会被应用到原先的法律规则上，这些规则也会逐渐获得新的内容，从而最终摆脱原先的枷锁，获得新的形式。”也就是说，在司法运作过程中，法官对案件进行价值考量是必要的，越是想要用所谓精确化思想来掩盖人性和激情，越容易在案件中体现价值本身。法律论证中运用数学方法，从进路来看，虽然表现了人类对司法审判精确化的追求，但是这种精确化追求却又实在侵犯了人类在司法裁判当中的主观判断性，从而降低了司法裁判的实质科学性。可见，在法律论证中注意价值因素，实质上就是注重人性本身。美国学者库利认为在法律中过分运用数学方法，“其实是反映了那些懒得深入思考而又急想得到精确结果的人对社会世界试图作出精确的、机械控制的幼稚想法。这种想法是一种未经深思熟虑就从自然科学那里借来的错误观念。事实上，越是高级的社会或心理功能，就越不能用数字进行测量，这可能是一条普遍的真理。”人们越是想实现司法裁判的形式化、精确化，越难以达到其终极目的。因此，通过数字来对人类的行为进行定性，必定导致司法关于人性的外在认定与公众关于人性的自我认识发生偏离。所以，将数学方法与价值考量结合起来，才是司法裁判应当坚持的方法之道。法治的时代是权利的时代，但不是数学理所当然就应当在法学中普及的时代。人们可以运用数学方法，但是不能被某一种特定的方法所绑架。人们越是关注数学方法与审判程序的结合，越是有更多的人用浓郁的感情色彩赞美这种结合，我们越要对此保持高度的警惕。只有在赞美与诋毁之中把握住正确的“方向盘”，人类才能在警醒中走得更远。 END